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projekt kurs / Physik / ES S7 / Atomphysik / 
22.11.2019 13:16:45
 

Bohr'sches Atommodell

Niels Bohr erweitert 1913 das Atommodel von Rutherford durch zwei revolutionäre Annahmen, die die Atomphysik bis heute deutlich prägen. Er nimmt zum einen an, dass sich die Elektronen nur auf bestimmten Bahnen strahlungsfrei bewegen. Dies steht deutlich im Widerspruch mit der klassischen Physik, bei der jede beschleunigte Bewegung von Elektronen eine elektromagnetische Strahlung zur Folge hat. Zum anderen formuliert er, dass in einem Atom nur bestimmte Energien absorbiert und im Umkehrschluss emittiert werden können. Seine beiden berühmten Postulate sind:

Die Quantenbedingung (1. Bohr'sches Postulat)

Innerhalb von Atomen bewegen sich die Atomelektronen strahlungsfrei auf stationären Bahnen. Dabei werden diese Bahnen durch den Bahndrehimpuls $L = r \cdot m_e \cdot v$, der als Wert nur ganzzahlige Vielfache von $\frac{h}{2 \pi}$ annehmen kann, bestimmt:

Für die $n$-te Bahn gilt: $$L_n = n\frac{h}{2 \pi}$$ wobei die $n \in \{1; 2; 3; \dots \}$ die Quantenzahl der Bahn (Bahnquantenzahl) ist.

Die Frequenzbedingung (2. Bohr'sches Postulat)

Jeder Übergang eines Elektrons aus einer Bahn in eine andere Bahn führt zu einer Energieabgabe (Emission) bzw. muss im Zusammenhang mit einer Energieaufnahme (Absorption) stehen. Die Energiedifferenz $\Delta W$ die bei dem Übergang auftritt wird durch ein Photon quantisiert aufgebracht, dabei gilt $$\Delta W = W_m - W_n = h f$$.

 


Aus der Quantenbedingung lassen sich die Bahngeschwindigkeit $v_n$ und der Bahnradius $r_n$ bestimmen, es folgt

$$v_n = \frac{n h}{2 \pi r_n m_e}$$

und

$$r_n = \frac{n h}{2 \pi v_n m_e}$$

Diskrete Energiezustände des Wasserstoffatoms

Die bei dem Wasserstoffatom messbaren diskreten Linien des Spektrums können mit den Bohraschen Postulaten nachgerechnet werden. 

Die Energie des Atoms mit einem Elektron auf der $n$-ten Bahn wird durch die Summe aus kinetischer und potentieller Energie des Elektrons bestimmt: $$W_n = W_{\mathrm{kin}, n} + W_{\mathrm{pot}, n}$$

Dabei ist die kinetische Energie $W_{\mathrm{kin}, n} = \frac{1}{2} m_e v_n^2$ und die potentielle Energie $W_{\mathrm{pot}, n} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q_{\mathrm{Kern}} \cdot Q_{\mathrm{Elektron}}}{r_n}$ mit $Q_{\mathrm{Kern}}=-Q_{\mathrm{Elektron}}=e$. Somit ergibt sich:

$$W_n = \frac{1}{2} m_e v_n^2 - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n}$$

 

Nur zur Übung: Durch Einsetzen von $v_n = \frac{n h}{2 \pi r_n h}$ ergibt sich

$$W_n = \frac{1}{2} m_e \left(\frac{n h}{2 \pi r_n m_e} \right)^2 - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r_n}$$

und weiter

$$W_n = \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 m_e} \frac{1}{r_n^2} - \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r_n}$$

$$0 = W_n - \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 m_e} \frac{1}{r_n^2} + \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r_n}$$

$$0 = W_n r_n^2 + \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} r_n - \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 m_e} $$

$$0 =  r_n^2 + \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 W_n} r_n - \frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 m_e W_n} $$

mit Hilfe der $pq$-Formel ergibt sich:

$$ r_{1;2} = -\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 W_n} \pm \sqrt{\frac{e^4}{64 \pi^2 \varepsilon_0^2 W_n^2}+\frac{n^2 h^2}{8 \pi^2 m_e W_n}}$$-

$$ r_{1;2} = -\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 W_n} \pm \sqrt{\frac{e^4 m_e^2}{64 \pi^2 \varepsilon_0^2 m_e^2 W_n^2}+\frac{8 n^2 h^2 m_e W_n \varepsilon_0^2}{64 \pi^2  \varepsilon_0^2  m_e^2 W_n^2}}$$

$$ r_{1;2} = -\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 W_n} \pm \frac{1}{8 \pi  \varepsilon_0  m_e W_n} \sqrt{e^4 m_e^2 + 8 n^2 h^2 m_e W_n \varepsilon_0^2}$$

Radius und Geschwindigkeit des Elektrons im Wasserstoffatom

Der Radius $r_n$ der $n$-ten Kreisbahn des Elektrons mit der Bahngeschwindigkeit $v_n$ lassen sich über die Zentripetalkraft $F_Z = \frac{m_e v_n^2}{r}$, die innerhalb des Atoms durch die Coulomb-Kraft $F_C= \frac{- e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_n^2}$ dargestellt wird; es gilt somit $$F_Z + F_C = 0$$ dann ist

$$F_Z = - F_C $$

$$\frac{m_e v_n^2}{r_n} = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_n^2}$$

es gilt damit auch

$$r_n m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0}$$

da $r_n m_e v_n^2 = L_n \cdot v_n$ ergibt sich

$$L \cdot v_n = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0}$$

und mit der Quantenbedingung $L_n = n \frac{h}{2\pi}$ ergibt sich 

$$v_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h n}$$

 

über $r_n m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0}$ ergibt sich für den Bahnradius $r_n$

$$r_n = \frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e e^2} n^2$$

Bohr'scher Radius

Wegen der Quantenbedingung ergeben sich für das Elektron nur ganz bestimmte feste Bahnen. Der Radius $r_n$ und die Bahngeschwindigkeit $v_n$ des Elektrons auf der $n$-ten Bahn lassen sich alleinig nur mit Hilfe von Naturkonstanten berechnen.

Als Bohr'scher Radius wird der Radius $r_1$ der innersten Bahn ($n=1$) bezeichnet, dieser beträgt $r_1=5,29\cdot 10^{-11}\mathrm{\,m}$.

Bestimmung der diskreten Energiewerte

Durch Einsetzen der im Vorfeld berechneten Größen für die $n$-te Bahn:

 

  • Bahngeschwindigkeit $v_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h n}$
  • Bahnradius $r_n = \frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e e^2} n^2$

ergibt sich für die kinetische Energie

$$ W_{\mathrm{kin},n} = \frac{1}{2} m_e \frac{e^4}{4 \varepsilon_0^2 h^2 n^2} = \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$$

und für die potentielle Energie

$$ W_{\mathrm{pot},n} = - \frac{m_e e^4}{4 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$$

somit ergibt sich für die Gesamtenergie

$$W_n = W_{\mathrm{kin},n} + W_{\mathrm{pot},n} = \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2} - \frac{m_e e^4}{4 \varepsilon_0^2 h^2 n^2} = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$$ 

$$\boxed{W_n = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 } \cdot \frac{1}{n^2} }$$

Der diskrete Wert der Energie für die erste Bahn ($n=1$), also für das Elektron im Grundzustand ist

$$W_1 = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 } =  -2,179\cdot 10^{-18}\mathrm{\,J} = -13,6\mathrm{\,eV}$$

Übungen und Aufgaben

  1. Berechnen Sie jeweils für $n=1; \dots; 5; 10; 20; \infty$ im Wasserstoffatom
    1. den Radius $r_n$.
    2. die Bahngeschwindigkeit $v_n$.
    3. die Gesamtenergie $W_n$ in Joule und Elektronenvolt.
  2. Fertigen Sie ein Energieniveauschema für das Wasserstoffatom an.

 

Angaben:

Planck'sches Wirkungsquantum     $h=$ $6,626\cdot 10^{-34}\mathrm{\,Js}$
Masse des Elektrons $m_e=$ $9,109\cdot 10^{-31}\mathrm{\,kg}$
Elementarladung $e=$ $1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{\,C}$
Elektrische Feldkonstante $\varepsilon=$ $8,854\cdot 10^{-12}\frac{\mathrm{A}\mathrm{s}}{\mathrm{V}\mathrm{m}}$

 


Lösungen:

Der Bahnradius $r_n$ lässt sich durch $r_n = \frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e e^2} n^2$ bestimmen. Für $n=1$ gilt $r_1 = \frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m_e e^2} = 5,293\cdot 10^{-11}\mathrm{\,m}$, somit folgt mit $r_n = r_1 \cdot n^2 = 5,293\cdot 10^{-11}\mathrm{\,m} \cdot n^2$: für $n=2$ : $r_2=2,117\cdot 10^{-10}\mathrm{\,m}$; für $n=3$ : $r_3=4,764\cdot 10^{-10}\mathrm{\,m}$; für $n=4$ : $r_4=8,469\cdot 10^{-10}\mathrm{\,m}$; für $n=5$ : $r_5=1,323\cdot 10^{-9}\mathrm{\,m}$; für $n=10$ : $r_{10}=5,293\cdot 10^{-9}\mathrm{\,m}$; für $n=20$ : $r_{20}=2,117\cdot 10^{-8}\mathrm{\,m}$; für $n\rightarrow\infty$ : $r \rightarrow \infty$

 

Die Bahngeschwindigkeit $v_n$ lässt sich durch $v_n = \frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h}\cdot \frac{1}{n}$ bestimmen. Für $n=1$ gilt $v_1 =\frac{e^2}{2 \varepsilon_0 h}=2,187\cdot 10^6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$, somit folgt mit $v_n = \frac{v_1}{n} = 2,187\cdot 10^6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \cdot n^{-1}$: für $n=2$ : $v_2 = 1,094\cdot 10^6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$; für $n=3$ : $v_3 = 7,291\cdot 10^5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$;  für $n=4$ : $v_4 = 5,468\cdot 10^5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$;  für $n=5$ : $v_5 = 4,375\cdot 10^5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$;  für $n=10$ : $v_{10} = 2,187\cdot 10^5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$;  für $n=20$ : $v_{20} = 1,094\cdot 10^5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$; für $n\rightarrow\infty$ : $v\rightarrow 0$.

 

Die Gesamtenergie $W_n$ lässt sich analog zum Bahnradius und der Bahngeschwindigkeit aus der Energie des Grundzustandes $W_1 = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 } =  -2,179\cdot 10^{-18}\mathrm{\,J} = -13,6\mathrm{\,eV}$ durch $W_n = W_1 \cdot \frac{1}{n^2}= -2,179\cdot 10^{-18}\mathrm{\,J} \cdot \frac{1}{n^2} = -13,6\mathrm{\,eV} \cdot \frac{1}{n^2}$ bestimmen: für $n=2$ : $W_2=-5,447\cdot 10^{-19}\mathrm{\,J} = -3,4\mathrm{\,eV}$; für $n=3$ : $W_3=-2,421\cdot 10^{-19}\mathrm{\,J} = -1,511\mathrm{\,eV}$; für $n=4$ : $W_4=-1,362\cdot 10^{-19}\mathrm{\,J} = -0,85\mathrm{\,eV}$; für $n=5$ : $W_5=-8,716\cdot 10^{-20}\mathrm{\,J} = -0,54\mathrm{\,eV}$; für $n=10$ : $W_{10}=-2,179\cdot 10^{-20}\mathrm{\,J} = -0,136\mathrm{\,eV}$; für $n=20$ : $W_{20}=-5,447\cdot 10^{-21}\mathrm{\,J} = -0,03\mathrm{\,eV}$; für $n\rightarrow\infty$ : $W_{\infty} \rightarrow 0$.

Spektralserien des Wasserstoffatoms

Die Energie $\Delta W$, die bei einem Sprung eines Elektrons von einer weiter-außen-liegenden Bahn ($r_m$) auf eine weiter-innen-liegenden Bahn $r_n$ emittiert wird lässt sich durch die Energiedifferenz $W_{m,n} \stackrel{!}{=} \Delta W = W_m - W_n$, wobei $m>n$ und $m,n \in \mathbb{N}$.  

 
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